Vyber kapitolu, ze které píšeš písemku. Každá má krátký výklad, vzorové příklady krok po kroku a cvičení, kde si zkusíš vlastní řešení.
Pohoda kapitola, vlastně jsou to jen zlomky s písmenkem. Než to vezmeš za zápis, projdi si pět krátkých sekcí níž — pak ti vzorové i procvičovací příklady budou dávat smysl.
Představ si: máš 12 banánů a chceš je rovným dílem rozdělit kámoškám. Jenže ještě nevíš, kolik jich přijde — třeba 3, možná 6, klidně 8. Tak si to napíšeš takhle:
$$\frac{12}{x}$$
kde $x$ je počet kámošek. A to je celý lomený výraz — obyčejný zlomek, jen místo čísla v jmenovateli (nebo v čitateli) je písmenko.
Funguje úplně stejně jako $\frac{12}{4} = 3$ banány na osobu. Jen tu jednu hodnotu předem neznáš.
Takhle vypadají další lomené výrazy z učebnice:
$$\frac{x+1}{x-3}, \qquad \frac{2}{a-b}, \qquad \frac{x^2-9}{x+3}$$
Jakmile někde uvidíš zlomek s písmenkem dole, je to lomený výraz. Hotovo, žádná magie.
Vrať se k těm banánům. Co kdyby nepřišla žádná kámoška? Pak bys „dělila 12 nulou" — a kolik banánů na osobu to dělá, nikdo neví. Kalkulačka ti vyhodí Error. Nulou prostě nikdy nedělíš.
Pro lomený výraz to znamená jednu jedinou věc: jmenovatel nesmí být roven nule. Nikdy.
Pravidlo na písemku: u každého lomeného výrazu hned na začátku zjisti, kdy by jmenovatel byl 0, a tu hodnotu vyřaď. Tomu se říká podmínka (definiční obor).
Příklad. Máš výraz $\frac{5}{x-3}$. Ptáš se: kdy by $x - 3$ vyšlo nula?
$$x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3$$
Takže $x$ nesmí být 3. Zápis: $x \in \mathbb{R},\; x \ne 3$.
Pozor: podmínku napiš dřív, než cokoli upravuješ. Když ji dopíšeš až na konci (nebo vůbec), učitelka ti strhne body.
Krátit = přepsat zlomek menšími čísly, aniž by se hodnota změnila.
Pizza-analogie: $\frac{4}{8}$ pizzy je úplně to samé množství jako $\frac{1}{2}$ pizzy. Jen jinak nakrájené. Vydělíš nahoře i dole tím samým číslem (společným dělitelem) a máš to.
$$\frac{12x}{8} = \frac{3x}{2} \quad (\text{krátíš čtyřkou — nahoře i dole})$$
U výrazů s mocninami si občas musíš čitatele/jmenovatele nejdřív rozložit na součin a pak teprve krátit. Klíčový vzorec, který si zapamatuj nazpaměť:
$$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$$
Příklad — $x^2 - 9$ je vlastně $x^2 - 3^2$ (tedy $A = x$, $B = 3$):
$$\frac{x^2 - 9}{x + 3} \;=\; \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} \;=\; x - 3 \qquad (x \ne -3)$$
Po krácení zmizí celé $(x+3)$ — protože ho máš nahoře i dole, je to jako vykrátit pětku v $\frac{5 \cdot 3}{5}$.
Rozšiřovat = pravý opak. Vynásobíš nahoře i dole tím samým, abys měla zlomek krájený jinak. Stejně jako $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$ — pořád ten samý kus pizzy. Hodí se to, když chceš sčítat zlomky a potřebuješ je dostat na společný jmenovatel.
Pravidlo z páté třídy, které pořád platí: nemůžeš sčítat zlomky s různými jmenovateli. Musíš je nejdřív upravit na stejný jmenovatel.
Připomeň si: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$. Polovinu si „rozkrojíš na čtvrtky" — $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$. A teď: $\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Když je krájené stejně, sčítáš čitatele a jmenovatel necháš.
U lomených výrazů je to úplně stejně:
$$\frac{2}{x} + \frac{3}{2x} \;=\; \frac{2 \cdot 2}{2x} + \frac{3}{2x} \;=\; \frac{4 + 3}{2x} \;=\; \frac{7}{2x}$$
Postup ve třech krocích: 1) najdi společný jmenovatel, 2) rozšiř každý zlomek, aby ho měl, 3) sečti čitatele.
Násobení je nejjednodušší ze všeho: čitatel × čitatel, jmenovatel × jmenovatel. Konec.
Představa: máš půlku čokolády. A z té půlky si vezmeš jednu třetinu. $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ celé čokolády.
$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$
Dělení zlomkem = násobení převráceným zlomkem. Vezmeš druhý zlomek, otočíš ho vzhůru nohama a násobíš.
$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} \;=\; \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \;=\; \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$
Tip: po vynásobení se vždycky koukni, jestli ještě nelze něco zkrátit. Skoro vždycky jde.
Klikej „Další krok" a postupně se ti odhalí celé řešení.
Příklad 1 — Najdi definiční obor: $\dfrac{8}{x - 5}$
Jmenovatel je $x - 5$. Ten nesmí být roven nule.
$$x - 5 \ne 0$$
Kdyby byl jmenovatel nula, dělili bychom nulou — to nelze.$$x \ne 5$$
Definiční obor: $x \in \mathbb{R},\; x \ne 5$.
Příklad 2 — Zkrať a urči podmínky: $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3}$
$$x + 3 \ne 0 \;\Rightarrow\; x \ne -3$$
$x^2 - 9$ je rozdíl druhých mocnin, takže $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:
$$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$
$$\frac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x - 3$$
Krátíme stejný činitel $(x+3)$ v čitateli i jmenovateli.Výsledek: $x - 3$, podmínka $x \ne -3$.
Příklad 3 — Sečti: $\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{2x}$
$$x \ne 0$$
Žádný z jmenovatelů nesmí být nula.Společný jmenovatel je $2x$ (větší z obou). První zlomek rozšířím dvojkou.
$$\frac{2}{x} = \frac{2 \cdot 2}{x \cdot 2} = \frac{4}{2x}$$
$$\frac{4}{2x} + \frac{3}{2x} = \frac{4 + 3}{2x} = \frac{7}{2x}$$
Výsledek: $\dfrac{7}{2x}$, podmínka $x \ne 0$.
Příklad 4 — Vynásob: $\dfrac{x}{4} \cdot \dfrac{8}{x^2}$
$$x \ne 0$$
$$\frac{x \cdot 8}{4 \cdot x^2} = \frac{8x}{4x^2}$$
Krátíme čtyřkou a $x$:
$$\frac{8x}{4x^2} = \frac{2}{x}$$
Výsledek: $\dfrac{2}{x}$, podmínka $x \ne 0$.
Zkus si nejdřív sama. Když se zasekneš, klikni „Ukázat řešení".
Jmenovatel nesmí být 0: $x + 2 \ne 0$, takže $x \ne -2$.
Výsledek: $x \ne -2$
$x - 3 \ne 0 \;\Rightarrow\; x \ne 3$.
Výsledek: $x \ne 3$
Jmenovatel rozložím: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
Žádný činitel nesmí být nula:
$$x - 3 \ne 0 \;\text{a}\; x + 3 \ne 0$$
Výsledek: $x \ne 3$ a $x \ne -3$
Krátím čtyřkou (společný dělitel 12 a 8):
$$\frac{12x}{8} = \frac{3x}{2}$$
Výsledek: $\dfrac{3x}{2}$
Podmínka: $x \ne 2$.
Rozlož čitatele: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
$$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$$
Výsledek: $x + 2$, podmínka $x \ne 2$
Společný jmenovatel je $x$, sčítáš čitatele:
$$\frac{1+2}{x} = \frac{3}{x}$$
Výsledek: $\dfrac{3}{x}$, podmínka $x \ne 0$
Společný jmenovatel je $x^2$. Rozšířím první zlomek:
$$\frac{2}{x} = \frac{2x}{x^2}$$
$$\frac{2x}{x^2} + \frac{3}{x^2} = \frac{2x + 3}{x^2}$$
Výsledek: $\dfrac{2x + 3}{x^2}$, podmínka $x \ne 0$
$$\frac{2 \cdot x}{x \cdot 4} = \frac{2x}{4x}$$
Krátím $x$ a dvojkou:
$$\frac{2x}{4x} = \frac{1}{2}$$
Výsledek: $\dfrac{1}{2}$, podmínka $x \ne 0$
Dělení = násobení převráceným:
$$\frac{a}{b} : \frac{a}{2} = \frac{a}{b} \cdot \frac{2}{a} = \frac{2a}{ab}$$
Krátím $a$:
$$= \frac{2}{b}$$
Výsledek: $\dfrac{2}{b}$, podmínky $a \ne 0,\; b \ne 0$
Podmínka: $x \ne 1$.
Rozlož: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.
$$\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$$
Výsledek: $x + 1$, podmínka $x \ne 1$
Dvě rovnice, dvě neznámé (typicky $x$ a $y$). Hledáš dvojici čísel, která obě rovnice splní zároveň. K tomu existují dvě hlavní metody — projdeme si je každou zvlášť na příkladu, který si umíš představit.
Představ si: hraje se zápas FC Barcelona. Lamine Yamal a Lewandowski dali dohromady 12 gólů za sezónu. Lewandowski jich má o 4 víc než Yamal. Otázka: kolik dal každý?
Když si Yamalovy góly označíš $x$ a Lewandowskiho $y$, zapíšeš to jako:
$$\begin{aligned} x + y &= 12 \\ y &= x + 4 \end{aligned}$$
Dvě rovnice, dvě neznámé — tomu se říká soustava. Hledáš dvojici čísel $[x;\, y]$, která obě rovnice splní zároveň.
(Spoiler: Yamal 4, Lewandowski 8. Ale nejde teď o výsledek, jde o to jak ho najdeš.)
Jsou v podstatě dvě hlavní metody, jak se k řešení dostat:
Která je lepší? Záleží na zadání. Někdy je rychlejší jedna, někdy druhá. Časem si vybereš podle toho, co rovnice nabízejí.
Řešení vždy zapisuješ jako $K = \{[x;\, y]\}$. Třeba $K = \{[3;\, 1]\}$ znamená „řešením je $x = 3,\; y = 1$".
Princip: Z jedné rovnice si vyjádříš jednu neznámou (např. „$y$ se rovná tohle a tamto"). Pak ten celý výraz dosadíš ve druhé rovnici za to písmenko. Tím se zbavíš jedné neznámé a máš obyčejnou rovnici o jedné neznámé.
Příklad k představě — Yamal a Lewandowski. Použijeme zadání ze sekce 1:
$$\begin{aligned} x + y &= 12 \\ y &= x + 4 \end{aligned}$$
Krok 1. $y$ už je vyjádřené ve druhé rovnici — naservírováno. $y = x + 4$.
Krok 2. Dosadím do první. Místo $y$ napíšu $(x + 4)$:
$$x + (x + 4) = 12$$
Krok 3. Vyřeším:
$$2x + 4 = 12 \;\Rightarrow\; 2x = 8 \;\Rightarrow\; x = 4$$
Krok 4. $x$ dosadím zpět, abych dopočítala $y$:
$$y = 4 + 4 = 8$$
Výsledek: Yamal dal 4 góly, Lewandowski 8. $K = \{[4;\, 8]\}$.
Kdy se hodí dosazovací metoda:
Princip: Obě rovnice sečteš dohromady (vlevo levé strany, vpravo pravé) tak, aby se jedna z neznámých vyrušila. Funguje, když máš v jedné rovnici „$+y$" a v druhé „$-y$" — sečtou se na nulu. Občas si rovnici nejdřív musíš vynásobit číslem, aby se to povedlo.
Příklad k představě — Katniss a šípy. V Hunger Games má Katniss v toulci $x$ šípů s ostrým hrotem a $y$ šípů s tupým hrotem. Ze zadání víš:
$$\begin{aligned} x + y &= 14 \quad (\text{celkem 14 šípů}) \\ x - y &= 4 \quad (\text{ostrých má o 4 víc}) \end{aligned}$$
Krok 1. Sečtu obě rovnice. Vlevo levé strany k sobě, vpravo pravé:
$$(x + y) + (x - y) = 14 + 4$$
$y$ a $-y$ se vyrušily — přesně jak jsem chtěla:
$$2x = 18 \;\Rightarrow\; x = 9$$
Krok 2. $x$ dosadím zpátky do libovolné z původních rovnic. Vezmu tu první:
$$9 + y = 14 \;\Rightarrow\; y = 5$$
Výsledek: Katniss má 9 ostrých a 5 tupých šípů. $K = \{[9;\, 5]\}$.
A když se to samo nevyruší? Vynásobíš jednu (nebo obě) rovnice číslem tak, aby vznikla opačná znaménka. Třeba:
$$\begin{aligned} 2x + 3y &= 13 \\ x - y &= 4 \end{aligned}$$
Druhou rovnici vynásobím 3 (aby ti $-3y$ vyrušilo $+3y$ z první):
$$3x - 3y = 12$$
Sečtu s první: $5x = 25 \Rightarrow x = 5$. A pak dopočítáš $y$.
Kdy se hodí sčítací metoda: když máš stejnou neznámou v obou rovnicích s opačnými znaménky (jako $+y$ a $-y$), nebo se to dá snadno udělat krátkým vynásobením.
Slovní úloha = ten samý typ příkladu, akorát ti zadání popíšou větami, ne rovnicemi. Tvoje práce je z těch vět udělat soustavu — pak už řešíš metodou A nebo B.
Postup je vždycky stejný:
Časté formulace: „součet je…", „rozdíl je…", „jedno je o tolik větší než druhé", „celkem zaplatil…", „dvakrát tolik…".
Klikej „Další krok".
Příklad 1 (dosazovací) — Vyřeš soustavu: $x + y = 10,\quad 2x - y = 2$
Z první rovnice:
$$y = 10 - x$$
Vybíráme tu, kde má neznámá koeficient 1 — vyjádření je nejjednodušší.Místo $y$ napíšu $(10 - x)$:
$$2x - (10 - x) = 2$$
$$2x - 10 + x = 2$$
$$3x = 12 \;\Rightarrow\; x = 4$$
$$y = 10 - 4 = 6$$
$$K = \{[4;\, 6]\}$$
Ověření: $4 + 6 = 10$ ✓; $2 \cdot 4 - 6 = 2$ ✓Příklad 2 (sčítací) — Vyřeš soustavu: $3x + y = 7,\quad x - y = 1$
$y$ a $-y$ jsou opačná, takže rovnou sečtu:
$$3x + y + x - y = 7 + 1$$
$$4x = 8$$
$$x = 2$$
Zvolím druhou: $x - y = 1$.
$$2 - y = 1 \;\Rightarrow\; y = 1$$
$$K = \{[2;\, 1]\}$$
Příklad 3 (sčítací s úpravou) — Vyřeš: $2x + 3y = 13,\quad x - y = 4$
Druhou rovnici vynásobím 3, ať se $y$ vyruší (3 × $-y$ = $-3y$, opačné k $+3y$):
$$x - y = 4 \quad |\cdot 3$$
$$3x - 3y = 12$$
$$\begin{aligned} 2x + 3y &= 13 \\ 3x - 3y &= 12 \end{aligned}$$
Sečteno: $5x = 25 \;\Rightarrow\; x = 5$
Z původní druhé rovnice $x - y = 4$:
$$5 - y = 4 \;\Rightarrow\; y = 1$$
$$K = \{[5;\, 1]\}$$
Ověření: $2 \cdot 5 + 3 \cdot 1 = 13$ ✓; $5 - 1 = 4$ ✓Příklad 4 (slovní úloha) — Hamilton a Verstappen zajeli dohromady 25 nejrychlejších kol sezóny. Hamilton jich má o 7 méně než Verstappen. Kolik každý?
$h$ = počet nejrychlejších kol Hamiltona, $v$ = počet kol Verstappena.
Když si neznámé pojmenuješ tematicky ($h$, $v$), líp se v tom vyznáš. Klidně použij $x$ a $y$, výsledek bude stejný.„Dohromady 25 kol" → $h + v = 25$.
„Hamilton o 7 méně" → $h = v - 7$.
$$\begin{aligned} h + v &= 25 \\ h &= v - 7 \end{aligned}$$
$h$ je už vyjádřené. Místo $h$ napíšu $(v - 7)$ do první rovnice:
$$(v - 7) + v = 25 \;\Rightarrow\; 2v = 32 \;\Rightarrow\; v = 16$$
$$h = 16 - 7 = 9$$
Hamilton zajel 9 nejrychlejších kol, Verstappen 16.
Kontrola: 9 + 16 = 25 ✓; Hamilton (9) je o 7 méně než Verstappen (16) ✓. A vždycky napiš odpověď slovy — v písemce za to bývá bod.Zápis řešení: napiš dvojici jako třeba [7;3] nebo x=7, y=3. Aplikace si poradí s oběma.
Sečti rovnice ($y$ se vyruší): $2x = 14 \Rightarrow x = 7$.
Dosaď: $7 + y = 10 \Rightarrow y = 3$.
Výsledek: $K = \{[7;\, 3]\}$
Sečti rovnice: $3x = 15 \Rightarrow x = 5$.
$5 - y = 4 \Rightarrow y = 1$.
Výsledek: $K = \{[5;\, 1]\}$
Z druhé rovnice: $x = y + 2$.
Dosaď do první: $3(y+2) + 2y = 16 \Rightarrow 5y + 6 = 16 \Rightarrow y = 2$.
$x = 2 + 2 = 4$.
Výsledek: $K = \{[4;\, 2]\}$
Z první: $x = 9 - 2y$.
Dosaď: $2(9 - 2y) - y = 3 \Rightarrow 18 - 5y = 3 \Rightarrow y = 3$.
$x = 9 - 6 = 3$.
Výsledek: $K = \{[3;\, 3]\}$
První rovnici vynásobím $-2$: $-4x - 2y = -14$.
Sečti s druhou: $-3x = -6 \Rightarrow x = 2$.
$2 \cdot 2 + y = 7 \Rightarrow y = 3$.
Výsledek: $K = \{[2;\, 3]\}$
$x$ je už vyjádřeno: $x = 2y$.
Dosaď: $2y + y = 9 \Rightarrow y = 3$.
$x = 2 \cdot 3 = 6$.
Výsledek: $K = \{[6;\, 3]\}$
$y$ je vyjádřeno: $y = x + 2$.
Dosaď: $2x + (x + 2) = 11 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$.
$y = 3 + 2 = 5$.
Výsledek: $K = \{[3;\, 5]\}$
Sečti rovnice: $5x = 15 \Rightarrow x = 3$.
$3 + y = 4 \Rightarrow y = 1$.
Výsledek: $K = \{[3;\, 1]\}$
Sečti rovnice: $5x = 15 \Rightarrow x = 3$.
$3 \cdot 3 + y = 12 \Rightarrow y = 3$.
Výsledek: $K = \{[3;\, 3]\}$
Označ čísla $x$ a $y$, kde $x > y$.
$$x + y = 14;\quad x - y = 4$$
Sečti: $2x = 18 \Rightarrow x = 9$. $9 + y = 14 \Rightarrow y = 5$.
Hledaná čísla jsou 9 a 5.